गुणनखंड विधि से द्विघात समीकरण का हल: ट्रिक्स और उदाहरण

Class 10th, 11th, 12th और Graduation के लिए गुणनखंड विधि बेहद ही Important Topic है. दरअसल, यह Algebra का एक भाग है जिसके मदद से Algebraic Questions को सरलता से solve करते है.

यह Question को गुणनखण्ड के रूप में व्यक्त करता है जिससे x या किसी भी Variables का मान Easily निकाला जा सकता है.

Factorization Method of Quadratic Equations में कुछ ऐसे Terms है जो इसे सरल और सटीक बनाता है. इसलिए, इसे समझना अत्यंत आवश्यक है. क्लास 10th में इससे 2 या 3 मार्क्स का questions एग्जाम में पूछे जाते है, जबकि 12th में ऐसे questions, objective में शामिल होते है.

यहाँ Factorization Methods (गुणनखण्ड विधि) से सम्बंधित सभी Important Tips, Tricks, परिभाषा, उदाहरण आदि का अध्ययन विशेष रूप से करेंगे.

गुणनखण्ड विधि किसे कहते है

परिभाषा: गुणनखंडन द्विघात बहुपद या समीकरण को उसके रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की एक विधि है. जो हमें द्विघात व्यंजकों को सरल बनाने, उनके Roots (शुन्यकों) को खोजने और समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है.

सामान्यतः एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है,जिसमें a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं. गुणनखंड द्विघात का एक ऐसा Method है जो द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के Roots या शून्यक Find करने में हमारी सहायता करता है.

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए लगभग 70% तक Factorization of Quadratic Equations का ही प्रयोग किया जाता है. क्योंकि यह Solution के नजर से Easy और बेहद सटीक होता है.

गुणनखंड कैसे किया जाता है?

गुणनखंड विधि का प्रयोग बहुपद और द्विघात समीकरण दोनों में होता है. फर्क सिर्फ इतना है की बहुपद में केवल Factor दिखाना होता है. जबकि Quadratic Equations में Factor के बाद x की value निकालना होता है.

अर्थात, ax² + bx + c = 0 को गुणनखण्ड के रूप में तोड़कर x का मान निकाला जाता है.

Roots of Quadratic Equation

प्रत्येक द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं, α और β, जिसे द्विघात समीकरण के शून्यक या Roots कहते हैं. द्विघात समीकरण के दो Roots (x – α) और (x – β) के रूप का होता है.

For Examples:

यदि α = 5 और β = -3 हो, तो

द्विघात समीकरण का गुणनखण्ड होगा, (x – 5) {x – (-3)}

अर्थात, गुणनखण्ड = (x – 5) (x +3)

गुणनखंड विधि को मुख्यतः दो प्रकार से Solve करते है.

1. Splitting the middle term
2. Using Algebraic Identities

इन दोनों Methods का प्रयोग निचे Questions solve करने के लिए प्रयोग करेंगे और यह भी समझने का प्रयास करेंगे की दोनों में क्या अंतर है. और किसका प्रयोग प्रश्न हल करने के लिए सरल और सटीक है.

Splitting the Middle Term for Factorizing Quadratic Equation

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूलों का योग α + β = -b/a और Quadratic Equation, ax² + bx + c = 0 में मूलों का गुणनफल αβ = c/a होता है.

जब द्विघात समीकरणों को गुणनखण्ड करने का प्रयास करते हैं तो हम द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मध्य पद b को विभाजित करते हैं. जिसमे a और c के गुणनफल के गुणनखंड युग्म को इस प्रकार निर्धारित करते हैं कि उनका योग या अंतर b के बराबर हो.

ऐसे करने से Factorization of Quadratic Equations बिल्कुल सही और सटीक कार्य करता है. इसे कुछ उदाहरण के माध्यम से समझने का प्रयास करते है.

Ex. 2x² − 5x + 3 = 0

Pro Tips: Constant के पास जो Sign (चिन्ह) रहता है उसी के अनुसार गुणनखण्ड करते है. जैसे इसमें +3 है अर्थात, 2 और 3 को गुणा करने के बाद इसके Factor निकलकर, फिर इसे जोड़कर -5 प्राप्त करते है. फर्क नही पड़ता है कि आप minus या Plus में जोड़कर मान प्राप्त करते है.

Step1. Factorization Method:

2x² − 5x + 3 = 0 (यहाँ -2 और -3 को जोड़कर (-5) प्राप्त किया गया है)

2x² – 2x – 3x + 3 = 0

2x(x – 1) -3(x -1) = 0

(x – 1)(2x -3) = 0

इसे 0 के बराबर अलग-अलग करे. जैसे;

(x – 1) = 0 और (2x -3) = 0

अर्थात, x = 1, 3/2 Answer

Step 2. Splitting the Middle Term

हमें ऐसे दो नंबर Find करना है जो -5 के बराबर हो, तथा x² और Constant के गुणनफल 6 को तोड़कर पर प्राप्त हो.

नंबर है -2 और -3, इसलिए

Sum of the roots ( α + β ) = (-2 + (-3)) = -5

Product of the roots (α + β) = (-2) ✖ (-3) = 6

गुणनखंड विधि से हल करे

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए Completing the Square process का प्रयोग किया जाता है. इसमें Algebra के कुछ महत्वपूर्ण फार्मूला का प्रयोग होता है जो इस प्रकार है.

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a – b)² = a² – 2ab + b²

इसे उदाहरण के माध्यम से समझते है.

Ex 1. 16x² – 4 = 0

(4x)² – (2) ² = 0 फार्मूला से

=> (4x – 2) ( 4x + 2) = 0

(4x – 2) = 0 और ( 4x + 2) = 0

अर्थात x = 1/2, -1/2 answer

विडियो के माध्यम से भी आप इसे सरलता से समझ सकते है.

गुणनखंड विधि से हल करने का उदाहरण

यहाँ कुछ क्वेश्चन दिए गए है जिसे हल कर आप अपना कांसेप्ट क्लियर कर सकते है.

गणित से सम्बंधित फार्मूला 

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