गणित के सबसे महत्वपूर्ण टॉपिकों में से सबसे प्रसिद्ध टॉपिक औसत फार्मूला है, क्योंकि इसके अंतर्गत व्यावहारिक ज्ञान जैसे औसत रन, औसत आयु, औसत प्राप्तांक, औसत भार, औसत चाल आदि पर आधारित विशेष प्रश्न प्रतियोगिता परीक्षा में पूछे जाते है. इसलिए, शिक्षकगण इन प्रश्नो को हल करने के लिए औसत फार्मूला की मूल अवधारणा पर विशेष बल देते है.
विद्यार्थियों यानि प्रतियोगी को Average Formula in Hindi और प्रश्न से पुर्णतः ज्ञान प्रदान करने के लिए इसके बेसिक इकाईयों को समझना आवश्यक है. प्रतियोगिता परीक्षा को ध्यान में रखते है हुए यहाँ ऐसे सूत्र एवं ट्रिक्स को सामिल किया गया है जो औसत के प्रशों को हल करने में सर्वाधिक प्रयोग किया जाता है.
मैथ्स की तैयारी करने के लिए फार्मूला का अध्ययन करना अतिआवश्यक होता है. शिक्षक के परामर्श अनुसार यहाँ सिर्फ वैसे ही फार्मूला उपलब्ध कराया गया है जो आवश्यक है.
औसत क्या है?
सामान्यतः औसत एक ऐसी गणितीय मान या संख्या है जो दी गयी संख्याओ के योगफल तथा दी गयी संख्याओं की संख्या के अनुपात से बनता है. औसत को परिभाषित इस प्रकार किया जाता है:
गणितीय औसत की परिभाषा:
दो या दो से अधिक सजातीय पदों का औसत वह संख्या होता है, जो दिए गए पदों के योगफल से उन्ही पदों की संख्या को भाग देने पर प्राप्त होती है.
सरल शब्दों में, दो या दो से अधिक सजातीय राशियों के जोड़ को उन्ही राशियों की संख्या से भाग करने पर प्राप्त भागफल उन राशियों का औसत कहलाता हैं.
Note:-
औसत को मध्यमान या माध्य से भी सम्बोधित किया जाता है.
अर्थात औसत = (सभी राशियों का योग) / (राशियों की संख्या)
यदि x1 , x2 , x2 , x3 , x4 …………. xn , n राशियाँ हो, तो
औसत = ( x1 + x2 + x2 + x3 + x4 ) / n
उदाहरण:
- Q. 3, 6, 8, 17 का औसत ?
- अंकों का योग = 5 + 6 + 8 + 17 = 36
- राशियों की कुल संख्या = 4
- इसलिए, औसत = 36 / 4 = 9 ans.
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औसत का सूत्र: Average Formula in Hindi
अधिकतर प्रश्न को लगभग औसत के इन्ही सूत्रों से हल किया जाता है. खासकर प्रतियोगिता परीक्षा में औसत फार्मूला सर्वाधिक महत्वपूर्ण होते है. अतः स्मरण रखे.
1. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1)/2
2. प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का औसत = (n + 1) (2n + 1)/6
3. प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = n(n + 1)²/4
4. लगातार n तक विषम संख्याओं का औसत = n
5. लगातार n तक सम संख्याओं का औसत = (n + 1)
6. n तक की सम संख्याओं का औसत = (n + 2)/2
7. लगातार n तक की पूर्ण संख्याओं का औसत = n/2
8. यदि n कोई विषम संख्या हो, तो क्रमागत सम संख्या या क्रमागत विषम संख्याओं का हमेशा माध्य संख्या होती है.
9. पहले n क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का औसत = (2 (n + 1) (2n + 1))/3
10. n तक पहले क्रमागत विषम संख्याओं के वर्गों का औसत = (n (n + 2))/3
11. यदि n क्रमागत संख्याओं का औसत m है, तो सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच का अंतर = 2 (n – 1)
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महत्वपूर्ण औसत का फार्मूला | Average Formula in Hindi
औसत से सम्बंधित महत्वपूर्ण प्रशों को हल करने का अवधारणा, जिसके मदद से प्रतियोगिता एग्जाम में आए प्रशों को सरलता हल किया जा सकता है.
1. यदि n क्रमागत सम या विषम संख्याओं का औसत x हो
- सबसे छोटी सम या विषम संख्या = x – (n-1)
- तथा सबसे बड़ी सम या विषम संख्या = x + (n-1)
2. किसी संख्या x के लगातार n गुणजों का औसत = x (n+1) / 2
3. n1 तथा n2 राशियों का औसत क्रमश: x1 तथा x2 हो, तो
(n1+n2) राशियों का औसत = ( n1 x1 + n2 x2 ) / ( n1 + n2 )
4. n मात्राओं का औसत x के बराबर है, जब एक मात्रा हटा या जोड़ दी जाती है, तो औसत y हो जाता है.
- हटाई गई मात्रा का मान = n(x – y) + y
- जोड़ी गई नही मात्रा का मन = n(y – x) + y
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औसत फार्मूला के महत्वपूर्ण तथ्य
- यदि सभी संख्याओं में x गुणा की जाती है, तो उनके औसत में भी x गुणा की कमी होती है.
- किसी संख्या में x से भाग की जाती है, तो उनके औसत में भी x से भाग होती है.
- अगर सभी संख्याओं में x की वृद्धि होती है, तो उनके औसत में भी x की वृद्धि होती है.
- यदि सभी संख्याओं में x की कमी होती है, तो उनके औसत में भी x की कमी होती है.
- दो क्रमागत पदों या संख्याओं का अन्तर समान हो, तो औसत = पहली संख्या + अन्तिम संख्या / 2
सामान्य प्रश्न: FAQs
किसी दी गई राशियों का औसत का मान निकालने के लिए उन समस्त राशियों के योग में राशियों की संख्या से भाग देते हैं. जैसे प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं का औसत = (n + 1)/2
औसत एक प्रकार की अंकगणितीय माध्य है, क्योंकि इसकी गणना संख्याओं के एक समूह को जोड़कर, फिर उन संख्याओं की गिनती से विभाजित करके निकाली जाती है.
प्रतियोगिता एग्जाम विशेषज्ञों के अनुसार फार्मूला प्रश्न को हल करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण इकाई होता है. जिसे नजरअंदाज कभी नही किया जाता है. इसलिए, Average Formula in Hindi का सभी आवश्यक फार्मूला का समूह यहाँ उपलब्ध कराया गया है. उम्मीद है आपको पसंद आएगा. धन्यवाद!!!