सम्मिश्र संख्या की परिभाषा एवं फार्मूला

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गणित विषय, फार्मूला का एक समूह है जो गणितीय प्रश्नों को हल करने में मदद करता है. Complex Number in Hindi, प्रतियोगिता एग्जाम एवं क्लास 11 का सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है. क्योंकि, यह वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का सम्मिलित रूप है. अर्थात, समिश्र संख्या के दो पार्ट्स होते है, जिसमे पहला पार्ट वास्तविक और दूसरा पार्ट काल्पनिक संख्या होता है.

समिश्र संख्या से सम्बंधित सभी महत्वपूर्ण फार्मूला एवं अनुप्रयोग का नियम यहाँ प्रदर्शित है जो इसे सरल बनाने के उदेश्य से आवश्यक है. वास्तविक और काल्पनिक संख्या के सहयोग से बने समिश्र संख्या का प्रयोग एवं परिभाषा आसान शब्दों में यहाँ पढ़े.

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Table of Contents

समिश्र संख्या क्या होता है? | Complex Number in Hindi

सामान्यतः सम्मिश्र संख्या एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का संयोजन है. अर्थात, किसी वास्तविक संख्या में एक काल्पनिक भाग जोड़ने से समिश्र संख्या बनती है. सम्मिश्र संख्या a+ib के रूप में होती है. जहाँ a वास्तविक संख्या और ib काल्पनिक संख्या होती है.

उदाहरण:

5 + j
-2³ – 3i
√a + √bi

काल्पनिक संख्या (Imaginary Number)

मूल रूप से, काल्पनिक संख्या एक जटिल संख्या है, जिसे काल्पनिक इकाई i द्वारा वास्तविक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. अर्थात, जो संख्याएँ वास्तविक नहीं होती हैं वे काल्पनिक संख्याएँ हैं. किसी काल्पनिक संख्या का वर्ग करने पर अगर वह ऋणात्मक परिणाम देती है, तो उसे काल्पनिक संख्या के रूप में परिभाषित करते है. इसे Im ( ) द्वारा सूचित किया जाता है. जैसे:- √-5, √-7, √-13 आदि.

√-1 को ग्रीक अक्षर i यानि lota से व्यक्त किया जाता है.
√-2 = √2i
√-4 = 2i

काल्पनिक संख्या i का घाट

i⁰ = 1
और i¹ = i
i² = -1
या i³ = -i
i⁴ = i

वास्तविक संख्या (Real Number in Hindi)

कोई भी संख्या जो किसी संख्या प्रणाली का भाग हो, जैसे; धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, भिन्न आदि वास्तविक संख्याएँ कहलाती है. जैसे:-
-4, 0, 1/17, 2.8, √5 आदि.

सम्मिश्र संख्या का संयुग्मी, मापांक एवं कोणांक

संयुग्मी: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के संयुग्मी को Z_ से सूचित किया जाता है.

मापांक: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के मापांक को |Z| द्वारा सूचित करते है.

जहाँ |z| = √(x²+y²)

कोणांक: सम्मिश्र संख्या Z = a+ib हो, तो Z के कोणांक को arg (Z) या amp (Z) लिखा जाता है.

जहाँ, arg Z = tan^-1 (y/x)

वास्तविक और काल्पनिक संख्या में अंतर

सम्मिश्र संख्या	वास्तविक संख्या	काल्पनिक संख्या
a+ib	a	b
3 + 2i	3	2
5	5	0i
-2i	0	-2i
a + αi	a	α

सम्मिश्र संख्या फार्मूला

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

(a + ib) – (c + id) = (a-c) + i(b-d)

(a + ib) x (c + id) = (ac – bd) + i(ad + bc)

(a + ib) / (c + id) = (ac +bd)/ (c² + d²) +i (bc – ad) / (c² + d²)

i^-1 = 1 / i × i/i = i / i² = i / -1 = -i

(z₁ + z₂)² = (z₁)² + (z₂)² + 2 × z₁ × z₂

(z₁ – z₂)² = (z₁)² + (z₂)² – 2 × z₁ × z₂

(z₁)² – (z₂)² = (z₁ + z₂) (z₁ – z₂)

(z₁ + z₂)³ = (z₁)³ + 3 × (z₁)² × z₂ +3 × (z₂)² × z₁ + (z₂)³

(z₁ – z₂)³ = (z₁)³ – 3 × (z₁)² × z₂ +3 × (z₂)² × z₁ – (z₂)³

सम्मिश्र संख्या के महत्वपूर्ण तथ्य

सामान्यतः सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक विस्तारित रूप है.
i भी एक बीजीय संख्या है क्योंकि यह समीकरण x² + 1 = 0 का एक मूल है.
गाऊसी पूर्णांक एक समिश्र संख्या है जिसमें वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं.
समिश्र संख्या को a + bi के रूप में दर्शाने को कार्तीय स्वरूप कहा जाता है.

Complex Number in Hindi क्लास 11 में प्रयोग होने वाली सबसे महत्वपूर्ण इकाई है. यह टॉपिक गणित का एक बड़ा हिस्सा कवर करती है. इसलिए, आवश्यक है कि इसके सभी बिंदुओं पर मजबूत पकड़ बनाए.

अन्य गणितीय महत्वपूर्ण फार्मूला

अनुपात और समानुपात के सूत्र	रोमन संख्याएँ
पूर्ण संख्या परिभाषा	1 से 20 तक पहाड़े
सम संख्या की परिभाषा	गणितीय संकेत का नाम
क्लास 9 मैथ्स के सभी फोर्मुलें	प्रतिशत फार्मूला

पूछे जाने वाला सामन्य प्रश्न FAQs

Q. सम्मिश्र संख्या क्या होता है?

एक वास्तविक संख्या और एक काल्पनिक संख्या का संयोजन है. सम्मिश्र संख्या बनता है. जैसे सम्मिश्र संख्या a+ib है. जहाँ a वास्तविक संख्या और ib काल्पनिक संख्या होती है.

Q. 3 एक सम्मिश्र संख्या क्यों है?

3 एक सम्मिश्र संख्या है, क्योंकि इसे 3+0i के रूप में लिखा जा सकता है.