संतता फार्मूला क्लास 12 वी मैथ्स की सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है क्योंकि यह कैलकुलस में सर्वाधिक प्रयोग होता है. साथ ही इनवर्स त्रिकोंमिति फार्मूला एवं केवल त्रिकोंमिति फंक्शन का भी उपयोग अधिक होता है. वैसे Continuity Inverse Trigo एवं फंक्शन पर आधारित है.
Limit And Continuity सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है जिसे Limit भी कहा जाता है. जिसमे ज्यामितीय आलेख के विषय में सम्पूर्ण अध्ययन किया जाता है. यहाँ उपलब्ध फार्मूला केवल गणित के अध्ययन को बेहतर बनाने और एक स्मार्ट तैयारी योजना को पूर्ण करने के लिए है जो 12 वीं कक्षा उत्तीर्ण करने के लिए महत्वाकांक्षी हैं
संतता की परिभाषा | Definition of Continuity in Hindi
कोई एक फलन f (x), x = a पर संतत कहलाता है यदि और केवल यदि f (x), x = a पर परिभाषित हो तथा lim x→ a f (x) का अस्तित्व हो और lim x→ a f (x) = f (a) हो.
सरल शब्दों में, कोई फलन f (x), x = a पर संतत कहलाता है यदि
lim x→ a – 0 f (x) = lim x→ a + 0 = f (a)
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संतता की सीमा का अस्तित्व: Limit And Continuity in Hindi
lim x→ a f (x) का अस्तित्व है यदि f (x)अद्वितीय संख्या y के निकट हो, जब x, a के निकट किसी तरह से आता है, तो
lim x→ a – 0 f (x) = lim x→ a + 0 f (x) = y का अस्तित्व होता है.
सीमा के अस्तित्व को lim x→ a f (x) = y द्वारा सूचित किया जाता है.
किसी बिंदु पर बाएँ एवं दाएं से संतता
1. कोई फंक्शन f (x), x =a पर बाएँ से संतत कहलाता है यदि
lim x→ a – 0 f (x) = f (a) हो.
2. यदि कोई फंक्शनf (x), x =a पर दाएं तरफ से संतत कहलाता है यदि
lim x→ a + 0 f (x) = f (a)
3. f (x), x =a पर संतत कहलाता है यदि f (x), x =a पर दोनों तरफ से संतत हो.
अर्ताथ, lim x→ a – 0 f (x) = lim x→ a + 0 f (x) = f (a) पर संतत कहलाता है.
किसी बिंदु अंतराल में संतता
कोई फलन f (x) अन्तराल [ a, b ] में संतत कहलाता है यदि–
1. f (x), x =a पर दाएं तरफ से संतत है अर्थात, lim x→ a + 0 f (x) = f (a)
2. f (x), x =a पर बाएँ तरफ से संतत है अर्ताथ, lim x→ a – 0 f (x) = f (a)
3. a और b के बिच के सभी बिन्दुओं पर f(x) दोनों तरफ से संतत है.
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संतत से सम्बंधित महत्वपूर्ण तथ्य
यदि f और g दो वास्तविक फलन है जो x = a पर संतत है, तो
1. f + g, x = a पर संतत होता है, अर्थात दो संतत फलनों का योग संतत होता है.
2. f – g, x = a पर संतत होता है, अर्थात दो संतत फलनों का अन्तर संतत होता है.
3. f . g, x = a पर संतत होता है, अर्थात दो संतत फलनों का गुणनफल संतत होता है.
4. f / g, x = a पर संतत होता है यदि g (a) ≠ 0 हो, अर्थात दो संतत फलनों का भागफल संतत होता है.
5. λf, x = a पर संतत होता है जहाँ λ एक वास्तविक संख्या है.
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महत्वपूर्ण Note:-
प्रतिलोम त्रिकोंमितीय फलन sin-1x, cos-1x, cot-1 x, tan-1 x, cosec-1 x, और sec-1 x अपने प्रान्तों में संतत होते है.
यदि कोई फलन f(x) = |a| हो, तो उसे निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है.
- जहाँ f(x) = a, यदि x > 0
- f(x) = – a, यदि x < 0
- f(x) = a, यदि x = 0
यदि दिया हुआ फलन किसी बिंदु a पर संतत हो, तो
lim x→ a – 0 f (x) = lim x→ a + 0 = f (a) का प्रयोग करे.
महत्वपूर्ण तथ्य
क्लास 12th में Limit and Continuity फार्मूला का योगदान मैथ्स में सर्वाधिक होता है क्योंकि यह अवकलन और समाकलन का मुख्य आधार होता है. अर्थात, अवकलनियाता इसी द्वारा परिभाषित किया जाता है. इसलिए, शिक्षक मानते है की limit का अध्ययन मैथ्स के महत्वपूर्ण टॉपिक पर मजबूत पकड़ बनाने में मदद करता है.