बेलन का क्षेत्रफल का फार्मूला एवं उदाहरण – Belan ka Kshetrafal

किसी भी गणितीय ज्यामितीय आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी फलकों या भुजाओं के क्षेत्रफल के योग से निर्धारित होता है. एक Belan ka Kshetrafal ज्ञात के लिए, उसके आधारों का क्षेत्रफल को बेलन के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल या बेलन की ऊंचाई के क्षेत्रफल में जोड़ा जाता है. जैसे, क्षेत्रफल = 2πr² + 2πrh

क्षेत्रफल को हमेशा वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, क्योंकि एक क्षेत्र के परिमाण को मापने के लिए उसे मात्रक लम्बाई की भुजा वाले वर्गों से भरते है.

ऑब्जेक्टिव क्वेश्चन के दृष्टिकोण से बेलन का क्षेत्रफल एक महत्वपूर्ण टॉपिक है क्योंकि एग्जाम में अक्शर इससे प्रश्न पूछे जाते है. तथ्यों को स्मरण रखना कम्पटीशन एग्जाम में बेहतर मार्क्स प्राप्त कनरे की जरिया है. अतः नियमबद्ध तरीके से यहाँ फार्मूला का अध्ययन सुनिश्चित करे.

बेलन का क्षेत्रफल का परिभाषा

मुख्यतः सिलेंडर का क्षेत्रफल तीन आयामी विमाओं द्वारा घिरा हुआ कुल क्षेत्र है, जो दो गोलाकार आधारों और घुमावदार सतह के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है. बेलन में, दो गोलाकार आधार एक दूसरे के ठीक ऊपर होते हैं और गोलाकार केंद्र से गुजरनेवाला रेखा आधार पर एक समकोण बनाती है.

बेलन में प्रयुक्त होने वाली घुमावदार सतह को पार्श्व सतह कहा जाता है. वही, Belan ka Kshetrafal की गणना करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विभिन्न मापदंडों में त्रिज्या, ऊंचाई, अक्ष, आधार और भुजाएँ शामिल होते हैं, जो पूर्ण पार्श्व पृष्ठ क्षेत्रफल का निर्धारण करते है.

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बेलन का वक्रपृष्ठ और सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल | Belan ka Kshetrafal

बेलनाकार ज्यामितीय आकृति के विभिन्न पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न प्रकार के फार्मूला का प्रयोग किया है.

बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh

• लम्बवृतीय बेलन की ऊंचाई = बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल / 2πr
• बेलन की त्रिज्या = बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल / 2πh

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πr ( h + r )

• लम्बवृतीय बेलन की ऊँचाई = (बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल / 2πr) – r

दूसरी फार्मूला, ऊँचाई = बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल / आधार की परिधि

लम्बवृतीय बेलन का आधार का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल =  πr²

इसलिए, बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल + दोनों आधार का क्षेत्रफल

अर्थात, 2πrh +  2πr² = 2πr ( h + r )

बेलन का आयतन = πr²h

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बेलन के क्षेत्रफल का सूत्र | Belan ka Kshetrafal Formula

1. लम्बवृतीय बेलन की त्रिज्या m गुनी तथा ऊँचाई n गुनी की जाए, तो

• वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल mn गुनी हो जाती है.
• तथा आयतन m²n गुनी होती है.

2. यदि लम्बवृतीय बेलन की ऊँचाई n गुनी हो तथा त्रिज्या अपरिवर्तित रहे तो,

• वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल n गुनी तथा
• आयतन n गुनी हो जाती है.

3. यदि बेलन की ऊँचाई में x % की वृद्धि हो, तो क्षेत्रफल में x % की वृद्धि होती है.

4.  यदि बेलन की त्रिज्या में x % की वृद्धि हो और ऊँचाई परिवर्तित हो, तो क्षेत्रफल में  2 x + x² / 100 % की वृद्धि होती है.

5.  यदि बेलन की त्रिज्या में x % की कमी हो और ऊँचाई परिवर्तित हो, तो क्षेत्रफल में 2 x – x² / 100 % % की कमी होती है.

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बेलन का क्षेत्रफल से सम्बंधित उदाहरण

1. किसी लम्बवृतीय बेलन की ऊँचाई 10 cm और त्रिज्या 7 cm हो, तो बेलन का वक्रपृष्ठ एवं सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल निकाले? (जहाँ π = 22 / 7)

हल: दिया है, बेलन की ऊँचाई = 10cm तथा त्रिज्या 7 cm

फार्मूला से, बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πrh

=> क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 7 × 10

Therefore, A = 44 × 10

अतः वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 440 cm²

पुनः बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2πr ( h + r )

=> क्षेत्रफल = 2 × 22/7 × 7 × ( 10 + 7 )

= 22 × 7 × ( 17 )

अर्थात, सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2618 cm²

2. यदि किसी बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 440 cm² हो, और त्रिज्या 7 cm हो, तो बेलन की ऊँचाई ज्ञात करे? (जहाँ π = 22 / 7)

हल: दिया है, बेलन का क्षेत्रफल 440 cm², और त्रिज्या 7 cm

इसलिए, लम्बवृतीय बेलन की ऊंचाई = बेलन का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल / 2πr

=> h = 440 / (2 × 22/7 ×7)

Therefore, h = 440 / 44

अतः बेलन की ऊँचाई = 10 cm

Note:- लम्बवृतीय Belan ka Kshetrafal उदाहरणस्वरूप प्राप्त किया सकता है जिसमे उपर अंकित फार्मूला का प्रयोग किया गया है. बेलन में प्रयोग किए जाने वाले सभी फार्मूला का लिस्ट उपर दिया गया है. उम्मीद है आपको अब कोई परेशानी नही होगी.

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