बेलन का आयतन का फार्मूला | Belan ka Aayatan

बेलन का आयतन सिलेंडर का घनत्व है जो उसमें रखी सामग्री की मात्रा को दर्शाता है. सामान्यतः Belan ka Aayatan πr²h होता है, जहाँ r वृताकार आधार की त्रिज्या है और h बेलन की ऊँचाई है. मुख्य रूप से लम्बवृतीय बेलन में तीन सतह होती है जिसमे दो वृताकार सहत और एक बक्रसतह होता है.

यह क्लास 9 और 10 में प्रयोग होने वाला सबसे महत्वपूर्ण टॉपिक है. इस चैप्टर से लगभग 20% तक प्रश्न प्रत्येक एग्जाम में पूछे जाते है. इसलिए, इसका अध्ययन निमयानुसार आवश्यक है. यहाँ सिर्फ वैसे ही बेलन का आयतन से संबधित फार्मूला का वर्णन है जिसका प्रयोग हमेशा अधिक होता है.

बेलन की परिभाषा

परिभाषा: गणितीय ज्यामिति में, बेलन एक ऐसी त्रिआयामी ठोस आकृति है जिसमें पार्श्व पृष्ठ वक्र के साथ-साथ बेलन के सिरे पर दो समान त्रिज्या के वृत्ताकार होते हैं. सामान्यतः बेलन को एक रोलर या गिलास के रूप में देखा जा सकता है.

मुख्यतः बेलन को अलग-अलग भाग में विभक्त किया जा सकता है, जैसे वृत्त, छड़ आदि. Belan ka Aayatan और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ऐसे भागों पर विशेष ध्यान दिया जाता है, ताकि सटीक प्रमाण प्राप्त कर सके.

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बेलन का आयतन | Belan ka Aayatan Formula

एक Belan ka Aayatan का गणना करने के लिए त्रिविमिए आकृति की ऊंचाई एवं आधार को विशेष रूप सजाया जाता है. जो इस प्रकार है.

यदि बेलन के आधार की त्रिज्या r और बेलन की ऊंचाई h हो, तो

बेलन का आयतन = πr²h

बेलन की ऊँचाई = आयतन / πr²

लम्बवृतीय बेलन की त्रिज्या = √ ( आयतन / πh)

खोखले बेलन में लगीधातु का आयतन = πh (R² – r² ) या πh (R – r ) (R + r )

बेलन का आयतन फार्मूला

1. यदि बेलन की ऊँचाई में x % की वृद्धि हो, तो आयतन में x % की वृद्धि होती है.

2. बेलन की त्रिज्या m गुणित की जाए, तो आयतन m² गुनी हो जाती है.

3. यदि बेलन की त्रिज्या में x % की वृद्धि हो और ऊँचाई परिवर्तित हो, तो आयतन में ( 3 x + 3 x² / 100 + x³ / (100)³ ) % की वृद्धि होती है.

4. लम्बवृतीय बेलन में कुल तीन सतह होते है तथा दो वृताकार सतह एवं बिच का घेरा वक्र सतह होता है.

5. यदि लम्बवृतीय बेलन की त्रिज्या m गुनी तथा ऊँचाई n गुनी की जाए, तो आयतन m²n गुनी हो जाती है.

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बेलन का आयतन से सम्बंधित उदाहरण

1. यदि किसी बेलन की ऊँचाई 5 cm और त्रिज्या 7cm, हो, तो बेलन का आयतन ज्ञात करे? जहाँ π = 22 / 7

हल: दिया है, बेलन की ऊँचाई, h = 5cm
त्रिज्या = 7cm

फार्मूला से, बेलन का आयतन = πr²h

=> आयतन = 22 / 7 × 7 × 7 × 5

इसलिए, 22 × 7 × 5

अतः आयतन = 770 cm³

2. किसी बेलन का आयतन 770 cm³ है और आधार की त्रिज्या 7 cm है, तो बेलन की ऊँचाई निकाले? जहाँ π = 22 / 7

हल: दिया है,

बेलन का आयतन = 770 cm³

तथा आधार की ऊँचाई = 7cm

सूत्र से, बेलन का आयतन = πr²h

=> 770 = πr²h

= 770 = (22 / 7) × 7 × 7 × h

इसलिए, h = 770 / 154

अतः बेलन की ऊँचाई = 5 cm

Note: बेलन एक ठोस ज्यामितिक आकृति है जिसमे दो समान त्रिज्या वाले वृताकार भाग होते है. ऊँचाई और त्रिज्या के मदद से Belan ka Aayatan सरलता से ज्ञात करते है. यहाँ आयतन से सम्बंधित सभी फार्मूला उपलब्ध है. उम्मीद है आपको पसंद आएगा.

पूछे जाने वाला सामान्य प्रश्न: FAQs